Albert Costa Casals começou a jogar tênis animado pelo seu pai no C.T. Urgell de Lleida. Aos cinco anos de idade começou a participar de torneios de verão e com o tempo acabou jogando mais regularmente, tendo John McEnroe como ídolo. Em 1993, chegou à final de Roland Garros Júnior e ganhou o Rolex Orange Bowl.
Em 14 de junho de 2002, Albert Costa casou-se com Cristina Ventura e seu padrinho foi Álex Corretja, o homem que o havia derrotado nas semifinais de Roland Garros uma semana antes.
Suas duas filhas gêmeas, Claudia e Alma, nasceram em 21 de abril de 2001.
Sem dúvida, suas melhores lembranças são da sua vitória em Roland Garros e do título da Copa Davis, ambos conquistados em 2002, ano em que também conseguiu sua melhor classificação mundial (6º), apoiado no seu backhand com uma mão.
Gosta de música, cinema (seus filmes favoritos são Ben-Hur e O Silêncio dos Inocentes), golfe, futebol (é torcedor do Barcelona) e de jogar cartas. Admira Michael Jordan, Tiger Woods e o jogador Ronaldo.
Foi escolhido para o Conselho de Jogadores da ATP de 2004 a 2006. Seu treinador é José Perlas e seu preparador físico é Toni Estalella.
Albert Costa é um lutador nas quadras. Tem uma direita respeitável, um grande backhand ofensivo e um poderoso drive. Seus resultados são muito melhores no saibro, em comparação com outras quadras.